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\BiChapter{复杂约束条件下一致性协同控制方法}{Surrounding formation and consensus control}

任务约束：时间，过载、燃料，任务目标等;
硬件约束：计算、存储资源，各类传感器、执行机构的实际物理限制;
环境约束：对抗环境，如GNSS欺骗拒止，通信干扰，定位信息稀缺等;
安全约束：生存所需的条件，如防碰撞、节点损失后的生存能力等

\BiSection{引言}{Introduction}

协同控制方法是多智能体系统中完成各种给定任务的底层支撑技术之一。寻求一致性是协同控制问题的核心。                                                                                                                                                                                                 
本章研究一类基于事件驱动的有限时间一致性协同控制方法。该方法的目标主要是为了在减少控制器输出的更新频率的基础上，保留有限时间稳定的相关特性（即系统一致性在有限的时间内收敛至特定的性能）。本章的控制方法设计考虑了复杂任务和复杂环境下的两类约束。第一类约束是考虑当发生设备的执行机构因特殊原因（如执行机构故障、处理器处于超负荷运行状态或是执行机构的时间常熟较大），从而无法及时响应系统一致性控制器的理想控制输出。其二是仍希望协同控制的整个过程能够继承有限时间控制的性能优点，如有限时间内保证收敛的特性。

\BiSection{相关理论和问题描述}{}
本节给出控制率设计中所需的几个必要的引理、图论的相关数学表述以及对问题的数学语言描述。

\BiSubsection{相关引理}{}
首先根据前人的研究成果，可知如下的几项引理成立。

\begin{lemma} \label{EVENT.lemma span0} \citeup{qian2001continuous}
	考虑一个$n$维向量 $\vect{x} \in \mathbb{R}^n = [x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$以及一个正的实数$0 < p \le 1$, 则有下述不等式成立： $$( \sum_{i=1}^{n}|x_i|)^{p} \le \sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\le n^{1-p}(\sum_{i=1}^{n}|x_i|)^p.$$
\end{lemma} 

\begin{lemma}  \label{EVENT.lemma span 1} \citeup{li2011finite}
	给定任意两个实数$x \in \mathbb{R},y \in \mathbb{R}$，则当给定两个正实数$c>0,d>0$时，有如下的不等式成立： $$|x|^c|y|^d \le \frac{c}{c+d}|x|^{c+d}+\frac{d}{c+d}|y|^{c+d}.$$
\end{lemma}

\begin{lemma} \label{EVENT.lemma span 2} \citeup{li2011finite}
	如果一个不大于$1$的正实数$\alpha$可以分解为两个正质数的比值，即$\alpha=\alpha_1/\alpha_2 \in (0,1]$, 其中 $\alpha_1>0,\alpha_2>0$为两个正的质数，则如下的不等式成立：
	$$|x^\alpha-y^\alpha|\le 2^{1-\alpha}|x-y|^\alpha.$$
\end{lemma}

\begin{lemma}\label{EVENT.lemma finite-time theorem} \citeup{bhat2000finite} 
	考虑如下所示的连续可微分的一阶系统：
	\begin{equation}\label{EVENT.eq sys}
	\dot{x} = f(x,t), f(0,t) = 0, x\in \vect{U}_{0} \subseteq \mathbb{R}^{n},
	\end{equation}
	如果在坐标原定的邻域内存在一个连续可微分的正定函数$V(x,t) > 0, \forall t > 0$，和两个正的实数$c>0,\alpha \in (0,1)$，满足下述条件：
	$$\dot{V}(x) \leq -cV^{\alpha}(x),$$
	则系统~\eqref{EVENT.eq sys}被称为有限时间稳定的，它的状态$x$将在有限时间$T$内收敛至坐标原点，收敛时间$T$的上界为：
	\begin{equation}
		T \leq \frac{V^{1-\alpha}(0)}{c(1-\alpha)}.
	\end{equation}
	另外，如果给定一个正的实数$\gamma < V(0)$，则一个保证系统收敛至 $V(t) < \gamma, \forall t > T_1$的广义收敛时间$T_1$的上界为：
	\begin{equation}
		T \leq \frac{V^{1-\alpha}(0)-\gamma^{1-\alpha}}{c(1-\alpha)}.
	\end{equation}
\end{lemma}

为了简化后文的推导过程，下面定义一个新的数学表达式，并分析它的性质。给定两个同维度的$n$维向量 $\vect{x} = [x_1,x_2,\cdots, x_n]^T$, $\vect{y} = [y_1,y_2,..., y_n ]^T$以及一个正的常数$\epsilon$，定义表达式 $E(\epsilon)_{\vect{x}\vect{y}}$如下：
\begin{equation} \label{EVENT.eq defintion of E(xy)}
	E(\epsilon)_{\vect{x}\vect{y}} = \sum_{i=1}^{n}|x_i|^\epsilon +\sum_{i=1}^{n}|y_i|^\epsilon.
\end{equation}
当已经在上下文中明确指定该表达式中涉及到的向量后，为了简化表达，该表达式中的向量名称将会被移除，即使用$E(\epsilon)$来代替$E(\epsilon)_{\vect{x}\vect{y}}$。则根据引理~\ref{EVENT.lemma span0}，下面给出该表达式的性质如下：

\begin{lemma} \label{EVENT.lemma property of E(x,y)}
	给定两个n维向量$\vect{x} = [x_1,x_2,\cdots, x_n]^T$, $\vect{y} = [y_1,y_2,..., y_n ]^T$并且假设常数$0<\epsilon<1$，则如下不等式成立
	$$E(2)^{\epsilon}\leq E(2\epsilon) \leq (2n)^{1-\epsilon}E(2)^{\epsilon}.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
	
	由于 $0<\epsilon<1$, 则根据引理~\ref{EVENT.lemma span0} 和公式~\eqref{EVENT.eq defintion of E(xy)}中的定义，则不等式的左边可以按照下式进行证明:
	\begin{equation} 
	\begin{aligned}
	E(2\epsilon) &= \sum_{i=1}^{n}x_i^{2\epsilon} +\sum_{i=1}^{n}y_i^{2\epsilon} \ge \left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right)^{\epsilon} +\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right)^{\epsilon}\\
	& \ge \left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 +\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right)^{\epsilon}=E(2)^{\epsilon}.
	\end{aligned}
	\end{equation}
	相似地，引理不等式的右边可证得： 
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			E(2\epsilon) &= \sum_{i=1}^{n}x_i^{2\epsilon} +\sum_{i=1}^{n}y_i^{2\epsilon} \\
			&\le n^{1-\epsilon}\left[ \left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \right)^{\epsilon} +\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right)^{\epsilon} \right]\\
			& \le (2n)^{1-\epsilon}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 +\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \right)^{\epsilon} =(2n)^{1-\epsilon}E(2)^{\epsilon}.
		\end{aligned}	
	\end{equation}	
	至此，本引理证明完毕。
\end{proof}

\BiSubsection{图论}{}
除了以上所述的必要的引理之外，图论是对多智能体系统进行建模和分析的重要工具。下面给出本节将使用到的和图论有关的符号定义：

由$n$个节点或智能体组成的内部存在数据交互和协同的多体系统，可以被建模成一个具有$n$个节点的图$\mathcal{G}=\{\mathcal{V},\mathcal{E},\vect{A}\}$. 其中$\mathcal{V}=\left\{1,2,\cdots,n\right\}$表示系统中节点的集合。$\mathcal{E}$为节点之间的边的集合，一条边表示两个节点之间存在某种实际互动和联系。例如，这种联系可以用于表示两个节点之间存在相互通信，或者是相对测量等系统内部的协同行为。为了区分节点之间交的强度或者重要性，对每个边引入正实数$a_{ij}\ge0,\forall i,j \in \mathcal{V}$表示两个节点间交互的权值。如果节点$i$和节点$j$之间不存在交互，则$a_{ij}=0$,因此$\mathcal{E}:=\{(i,j) \in \mathcal{V} \times \mathcal{V} | \forall a_{ij}\ne 0 \}$。矩阵$\vect{A}$存储了系统内部所有节点之间边的权值信息。当$a_{ij} = a_{ji}, \forall i,j \in \mathcal{V}$,则图$\mathcal{G}$为无向图，否则称之为有向图。

如果从任意的节点$i$出发，都能找到一组节点序列，使得序列中任意位置的前后两个节点都是邻接节点，从而最终能够到达$j$节点，则称节点$j$是连通的。如果$\mathcal{V}$中的所有节点都是连通的，则称这个图是连通图。对于节点$i$,定义$\vect{N}_i$为它的邻接节点集合，即$\vect{N}_i = \left\{ j \in \mathcal{V}:(i,j) \in \mathcal{E},j \ne i\right\}$。定义对角矩阵$\vect{D} = diag\{ [d_{1}, d_{2}, \cdots , d_{n}] \}$为图$\mathcal{G}$的度矩阵，对角线上的元素为$d_{i} = \sum_{j \in \vect{N}_i}a_{ij}$。因此图$\mathcal{G}$的拉普拉斯矩阵为$\vect{L}= \vect{D}-\vect{A}$。对于无向图$\mathcal{G}$，其拉普拉斯矩阵有$\vect{L}=\vect{L}^T \ge 0$，且全一向量$\vect{1}^T = [1,1,\cdots,1]^T$是对应于拉普拉斯矩阵最小特征值$\lambda_1$的特征向量，并且该最小特征值为$0$。当图$\mathcal{G}$为无向连通图时，其拉普拉斯矩阵$\vect{L}$有且仅有一个零特征值，其余特征值都大于零，即$0=\lambda_1(\vect{L}) < \lambda_2(\vect{L})\le\cdots\le\lambda_n(\vect{L})$。另外$\lambda_2(\vect{L})$也被称为图$\mathcal{G}$的几何连通度。

\BiSubsection{问题构建}{}
将移动协同导航系统中的每个节点视作一个智能体，将节点之间的相互通信作为判断两个节点之间是否存在边的依据，则整个移动协同导航系统在任意时刻$k$都可以表示为一个无向图$\mathcal{G}(k)$。现实中，可以合理地将每个节点的动力学可以表征为一个二阶质点模型，
\begin{equation} \label{EVENT.eq dynamics of agent}
	{{\dot x}_i}(t_i) = {v_i}(t_i) \hfill,{{\dot v}_i(t_i)} = {u_i}(t_i),i \in \mathcal{V},
\end{equation}
式中$\mathcal{V} = \left\{1,2,...,n \right\}$为所有节点的集合。$x_i(t_i),v_i(t_i)$为第$i$个节点的状态。为了方便后文描述，在前后文意义明确的情况下，后文对系统状态$x_i(t_i),v_i(t_i)$的引用将省略对时间$t_i$的索引。

本节的后续任务是针对上述二阶积分器模型组成的多智能体系统，基于事件驱动控制框架，设计一类符合协同控制方法，在减少控制器输出频率的同时确保一致性过程的有限时间收敛特性，并确保排除事件驱动控制理论中的奇诺现象(Zeno behavior)。典型的事件驱动控制框架不仅仅是涉及控制层的输出更新频率问题，也会影响系统在通信曾里面的协同。然而由于本章主要关注的执行机构部分的约束，而不是通信设备的约束，因此，本章假设通信可以及时并流畅地在节点之间传输必要信息。

由此，对系统内的某一个节点$i$而言，需设计的事件驱动控制框架为，节点的控制器连续地接收其邻接节点通过通信设备传输的状态信息$x_j, \forall j \in \vect{N}_i$和其自身的状态信息$x_i,v_i$；然后根据设计的事件触发函数决定何时更新控制器向制动机构的控制输出$u_i$,并根据已经获取到的信息计算合理稳定的控制输出$u_i$。

\BiSection{事件驱动的有限时间一致性控制率}{}
根据前文的问题描述，本节将一种二阶多智能体系统有限时间稳定控制率改写为基于事件驱动的非连续控制率，通过引入事件驱动控制框架，设计合适的误差函数和触发函数，使得复合控制方法可以将有限时间稳定的快速收敛优势和事件驱动控制的降低控制器更新频率的优势相结合。该复合控制方法的核心是驱动函数中引入的微小的常量$\delta$，从而可以确保复合控制率排除奇诺现象。

\BiSubsection{复合控制率的设计}{}


\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[width = 0.95\textwidth]{figures_EVENT/controlFlow}
	\bicaption[fig. controlFlow]{}{事件驱动的有限时间控制率工作流程}{Fig.$\!$}{evnet-triggered control flow}\vspace{-0.5em}
\end{figure}
[待完成：修改此图]

首先，针对基于动力学公式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}的多智能体系统，如果仅希望使该系统的一致性具备有限时间稳定性能，则可以使用下式所示的一类连续形式的奇次控制率：
\begin{equation} \label{EVENT.eq continuous protocol}
	{u_i} = -{k_1}{\left[ {k_2^{{\alpha _2}}{y_i} + v_i^{{\alpha _2}}} \right]^{{\alpha _1}}},
\end{equation}
式中${y_i}(t) = \sum\nolimits_{j\in N_i} {{a_{ij}}( {{x_i} - {x_j}} )}$, $\alpha_2=\frac{\alpha^{*}_1}{\alpha^{*}_2} \in (1,2)$, $\alpha^{*}_1,\alpha^{*}_2$为两个正的质数。$\alpha_1 = \frac{2-\alpha_2}{\alpha_2} \in (0,1)$, $k_1$和$k_2$为两个大于零的参数，$n$是系统中智能体数目。观察上式可得，该控制率的计算仅需其自身的一阶位置状态$x_i$，二阶速度状态$v_i$以及其邻接节点的一阶位置状态$x_j,\forall j \in \vect{N}_i$。根据问题描述中的控制流程，这些信息都可以通过智能体自身携带的传感器和与邻接节点的通信中获取。因此上式的奇次形式控制率是属于分布式，无中心的控制方法。该控制率的稳定性证明以及确保有限时间稳定的参数选择方法可以参考\cite{li2011finite,zheng2012finite,qian2001continuous}。

然而上述的有限时间控制方法需要连续地更新其控制输出。为了减少控制器输出的更新频率，本节基于事件驱动控制方法\citeup{Tabuada2007Event,dimarogonas2012distributed,seyboth2013event}，将公式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}的连续输出控制量的方式，改变为依赖于特殊触发事件的控制更新机制。用$0,t_i^1,\cdots, t_i^k,...$代表第$i$个节点的事件触发序列，则基于公式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}的连续控制率，本节提出一类事件驱动的分布式离散控制率：
\begin{equation} \label{EVENT.eq Event-triggered control protocol}
	{u_i}(t_i) = -{k_1}{\left[ {k_2^{{\alpha _2}}{y_i}\left( {t_i^k} \right) + v_i^{{\alpha _2}}\left( {t_i^k} \right)} \right]^{{\alpha _1}}},t_i \in \left[ {t_i^k,t_i^{k + 1}} \right),
\end{equation}
式中$y_i$, $\alpha_1$ and $\alpha_2$等参数与公式~\eqref{EVENT.eq continuous protocol}相同。$k_1 > 0$, $k_2 > 0$为控制增益，它们的选取策略将在后文的稳定性分析中给出。$t_i^k$代表第$i$个节点最近的一次事件触发的时刻。通过观察上述控制率，每个节点在当前时间$t_i$的控制器输出，使用的各种数据信息仅为$t_i^k$时刻获取的数据。因此该控制器的输出在前后更新时刻是不连续的。

除了上述的控制率计算公式外，事件驱动控制还需要设计合适的触发函数，用以确定节点的每个触发时间。如图~\ref{fig. controlFlow}所示，对系统内的第$i$个节点，整个事件驱动控制框架的工作流程如下：
\begin{itemize}
	\item[1):] 节点$i$连续不间断地监视自身的一阶状态$x_i$，二阶状态$v_i$，以及通过通信手段获取其他节点的一阶状态信息$x_j,\forall j \in \vect{N}_i$。
	\item[2):] 根据已获取的局部信息，定义如下所示的测量误差函数：
	\begin{equation}\label{EVENT.eq measurement error}
		e_i(t_i) = \left( \xi^{\alpha_1}_i(t^k_i) - \xi^{\alpha_1}_i(t_i) \right)^{\frac{1}{\alpha_1}},
	\end{equation}
	式中$\xi_i = {k_2^{{\alpha _2}}{y_i}+ v_i^{{\alpha _2}}}$。
	\item[3):] 定义如下所示的事件驱动触发函数：
	\begin{equation}\label{EVENT.eq trigger function}
		f_i(t_i,e_i,y_i)=|e_i|-\left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right)^{\frac{1}{\alpha_1}}(|y_i|+\delta),
	\end{equation}
	式中$\delta$为一个微小常量，用以防止整个事件驱动框架产生奇诺现象。
	\item[4):] 当触发函数满足
	\begin{equation} \label{EVENT.eq trigger condition}
		f_i(t,e_i,y_i) > 0
	\end{equation}
	时，公式~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}中的事件计数变量$k=k+1,t_i^k=t_i$，且将公式中用到的所有状态数据更新到当前的系统状态，即将公式~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}中使用到的变量重新赋值为$x_i(t_i^k)=x_i(t_i),v_i(t_i^k)=v_i(t_i),x_j(t_j^k)=x_j(t_j),\forall j \in \vect{N_i}$。
\end{itemize}

在上述工作流程中，当触发条件~\eqref{EVENT.eq trigger condition}满足时，有$$ |e_i| -\left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right)^{\frac{1}{\alpha_1}} (|y_i|) > \left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right)^{\frac{1}{\alpha_1}} \delta.$$。参照$e_i$的定义~\eqref{EVENT.eq measurement error}，在每一个触发时刻$t_i^k$，误差函数$|e_i|$均为零。触发事件结束后，$|e_i|$随系统状态的变化逐步积累直到下次更新时刻。因此该误差函数用于衡量系统的测量误差与当前系统状态的偏差。当此偏差超出预设的常量$\left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right)^{\frac{1}{\alpha_1}} \delta$时，事件重新触发并且重置$|e_i|$为零。

\BiSubsection{稳定性分析}{Stability Analysis}
前一节名确定提出了本章设计的事件驱动有限时间复合控制率，即一个离散的控制输入~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}以及对应的事件触发条件~\eqref{EVENT.eq measurement error}~\eqref{EVENT.eq trigger function}~\eqref{EVENT.eq trigger condition}。本节给出使用该复合控制率后闭环系统的稳定性证明。由于事件驱动控制本身就可以确保减少控制器的输出频率。因此本节将通过严格的数学理论推导，证明本章设计的复合控制率可以在继承有限时间稳定的特性，即可以在有限时间内收敛至特定的一致性精度内。

对于二阶智能体系统，本节选取一个合适的李雅普诺夫函数\citeup{zheng2012finite,qian2001continuous}如下所示：
\begin{equation} \label{EVENT.eq lyapunov function candidate}
	\left\{
		\begin{aligned}
		&V(t) = V_0(t) + \frac{1}{k_2^{1+\alpha_2}}\sum_{i=1}^{n} W_i(t)\\
		&V_0 = \frac{1}{4}\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x_i - x_j)^2\\
		&W_i = \int_{v^{*}_i}^{v_i} (s^{\alpha_2} - v^{*\alpha_2}_i)^{2-1/\alpha_2}  ds\\
		&v^{*}_i = - k_2 y_i^{1/\alpha_2}	,i \in \mathcal{V},
		\end{aligned}
	\right.
\end{equation}
式中$k_2>0$且$\alpha_2 \in (1,2)$为控制率\eqref{EVENT.eq continuous protocol}和\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}中的同一个参数，是两个正质数的比值，${y_i}(t) = \sum\nolimits_{j\in N_i} {{a_{ij}}( {{x_i} - {x_j}} )}$。首先，在不给定具体控制率的前提下，式~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}的李雅普诺夫函数本身具有如下几点性质：

\begin{theorem} \label{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}
	针对动力学为式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}二阶积分器模型的多智能体系统，当系统内部的通信拓扑图$\mathcal{G}$为无向连通图时，下列关于式~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}的论述是正确的：
	\begin{itemize}
		\item[1):] 函数$V(t)$是正定的，且符合李雅普诺夫函数的必备条件，可以作为判定多智能体系统稳定的依据。
		\item[2):] 定义中间向量$\vect{y} = [y_1,y_2,\cdots,y_n]^T$以及$\vect{\xi} = [\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]^T$，并将之与前文定义的表达式$E(\cdot)$相关连，则存在一个正的实数$c_1=\max\left( \frac{1}{2\lambda_2},\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{k_2^{1+\alpha_2}}  \right)$，$\lambda_2$为无向连通图$\mathcal{G}$的第二最小特征根（几何连通度），使下述不等式成立：
		\begin{equation}
			V \leq c_1 E(2).	
		\end{equation}
		\item[3):] 定义三个常数$c_1,c_2,c_3$如下：
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				c_2 &= \frac{1}{k_2^{1+\alpha_2}} \\
				c_3 &= \left[\frac{\alpha_2 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} +(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}(\beta+n\gamma)-k_2 \right] \\
				c_4 &= \left[ \frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} +(2-\frac{1}{\alpha_2})(\frac{k_3}{k_2}+n\gamma\frac{2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}}{k_2(1+\alpha_2)}) \right]
			\end{aligned}
		\end{equation}
		则李亚普诺夫函数$V$对时间的一阶导数存在上界：
		\begin{equation}
			\dot{V} \leq c_2\sum_{i=1}^n \xi_i^{2-\frac{1}{\alpha_2}}u_i + c_3\sum_{i=1}^{n}y_i^d + c_4 \sum_{i=1}^{n}\xi_i^d ,
		\end{equation}
		式中$1<\alpha_2<2$是李雅普诺夫函数$V$中的同名参数，$d = 1+ \frac{1}{\alpha_2}$,$\beta = \max_i(\sum_{j=1}^{n}a_{ij})$, $\gamma = \max_{ij}(a_{ij})$，$a_{ij}$为邻接矩阵$\vect{A}$中对应于第$i$行和第$j$列的元素，$n$是系统中的智能体数量.
	\end{itemize}
\end{theorem}

\begin{proof}
	该定理的证明过程参见附录~\ref{appendices I}.
\end{proof}

定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}中的三点关于李雅普诺夫的论述与控制率的具体形式无关，仅要求系统中节点的模型为二阶多智能体，且系统的通信图是无向且连通的。定理中的三项论述分别阐述了：
\begin{itemize}
	\item[1):] 论述一表明，式~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}中定义的函数$V(t)$可以作为有效的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性；
	\item[2):] 论述二给出了该李雅普诺夫函数上界的表达式。
	\item[3):] 论述三将李雅普诺夫对时间的一阶导数的表达式进行了整合，给出了引入具体控制率之前的简化结果。
\end{itemize}

基于定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}，下面正式引入本章设计的事件驱动控制率，并且将这一过程的结果总结为如下定理：

\begin{theorem} \label{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}
	针对动力学为式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}二阶积分器模型的多智能体系统，当系统内部的通信拓扑图$\mathcal{G}$为无向连通图时，若系统内所有节点均采用式~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}所示的离散控制协议，事件触发条件为\eqref{EVENT.eq measurement error}~\eqref{EVENT.eq trigger function}~\eqref{EVENT.eq trigger condition}，则式~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}中定义的李雅普诺夫函数对时间的一阶导数满足：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\dot{V}+&c_5 V^{\frac{d}{2}} \le c_6E(d) +\delta^{\alpha_1}E(2-\frac{1}{\alpha_2}),
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中$\alpha_1,\delta$是继承于控制率中的参数, $c_5$和$c_6$为待定的常量。更进一步，如果$c_5 > 0$,则李雅普诺夫函数$V(t)$的轨迹会在有限时间$T^{*}$内收敛至一个和控制参数$\delta$有关的有界区间，
	\begin{equation}
		V(t) \in [0,f(\delta)], \forall t > T^{*}, 
	\end{equation}
	式中$f(\cdot)$为一个以控制参数$\delta$为自变量的单射函数。收敛时间可以按照下式确定： 
	\begin{equation}
	T^{*} \le \frac{V(0)^{1-d/2} - f(\delta)^{1-d/2}}{c_5(1-d/2)}.		
	\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
	该定理的证明参见附录~\ref{appendices II}.
\end{proof}

定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}表明，在本章设计复合控制率的控制下，式~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}定义的李雅普诺夫函数将在有限时间内收敛至零附近的有界邻域。收敛时间与控制率中的控制参数$\delta$直接相关，因此可以通过调整该参数来干预收敛时间，$\delta$的大小与收敛时间成反比例相关。虽然定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}给出了收敛时间的上界，但是该计算公式中存在两个任意给定的常数，因此该收敛时间无法通过系统的初始状态明确地计算得到。

基于以上两个前置定理，下面给出本章的主要结论：

\begin{theorem}\label{EVENT.th main theorem of event-trigger control protocol}
	针对动力学为式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}二阶积分器模型的多智能体系统，当系统内部的通信拓扑图$\mathcal{G}$为无向连通图时，若系统内所有节点均采用式~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}所示的控制协议和式~\eqref{EVENT.eq measurement error}~\eqref{EVENT.eq trigger function}~\eqref{EVENT.eq trigger condition}的事件触发条件，当控制率中的控制增益$k_1,k_2$的值满足如下所示的条件时
	\begin{equation}	\label{equation of parameters in main theorem}
		\begin{aligned}
			k_1 &> {k_2^{1+\alpha_2}} k_4, \\
			k_2 &> \frac{2-\alpha_2}{\alpha_2+1}+\frac{\alpha_2 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} +(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}(\beta+n\gamma), \\
			k_3 &= (\beta +n\gamma\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2})2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}+(\beta+n\gamma)\frac{\alpha_2k_2}{1+\alpha_2}2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}, \\
			k_4 &= \left[ \frac{2\alpha_2 + 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}} -1}{1+\alpha_2} +\frac{2\alpha_2-1}{\alpha_2}\left( \frac{k_3}{k_2}+\frac{n\gamma 2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}}{k_2(1+\alpha_2)} \right)\right],
		\end{aligned}
	\end{equation}
	式中$\alpha_2=\frac{\alpha^{*}_1}{\alpha^{*}_2} \in (1,2)$ $\alpha^{*}_1,\alpha^{*}_2$是两个质数之比，$\alpha_1 = \frac{2-\alpha_2}{\alpha_2} \in (0,1)$, $\beta = \max_i(\sum_{j=1}^{n}a_{ij})$, $\gamma = \max_{ij}(a_{ij})$ 以及 $n$为系统中智能体的数量,则系统中任意两个智能体的一阶、二阶状态都能趋近于一致，该一致性误差将在有限时间内收敛至一个与控制参数$\delta$有关的零附近的有界邻域内，即
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& |x_i - x_j|<h(\delta)\\
			& |v_i - v_j|<g(\delta)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	$t > T^{*},\forall i,j \in \mathcal{V}$。上式中$g(\cdot)$和$h(\cdot)$ 为两个以控制参数$\delta$为自变量的单射函数。
\end{theorem}

\begin{proof}
	该定理的证明需从定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}入手。上一个定理成立的唯一要求是让系数$c_5>0$。根据公式[待填充]中对$c_5$的定义，要求系数$\tilde{c}_3$和$\tilde{c}_4$均为正。根据定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}证明过程中$\tilde{c}_3$和$\tilde{c}_4$的定义，即可得到式~\eqref{equation of parameters in main theorem}中控制增益需要满足的条件。
	
	下面给出关于任意两个节点在稳定状态下一致性误差与有界邻域关系的相关证明。根据假设，通信图$\mathcal{G}$为无向连通的。因此对图中的任意两个节点$i$和节点$j$，都存在一条从$i$节点出发到达$j$节点的连通路径$[i_1,i_2,\cdots,i_r]$，其中$i_1=i,i_r=j,r<n$，并且这条路径上的任意两个前后节点都互为邻接节点。因此节点$i$和节点$j$之间的状态偏差可以在这条路径上拓展如下：
	$$\sqrt{\mu}|x_{i}- x_j| \le \sqrt{a_{i_1,i_2}}|x_{i_1}-x_{i_2}| + \sqrt{a_{i_2,i_3}}|x_{i_2}-x_{i_3}| + ... +\sqrt{a_{i_{r-1},i_r}}|x_{i_{r-1}}-x_{i_r}|$$, 式中$\mu = \min( a_{i_{k}i_{k-1}} ),1 \le k \le r-1 $，$a_{ij}$为邻接矩阵中的元素，代表通信比重，因此对连通路径上的任意两个邻接节点，$a_{i_{k}i_{k+1}} \neq 0$. 由此，根据引理~\ref{EVENT.lemma span0}, 上式的右侧累加项可进一步地缩放为：
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			& \sum_{j=1}^{r-1} \sqrt{a_{i_j,i_{j+1}}} | x_{i_j} - x_{i_{j+1}} | \\	
			&\le (r-1)^{\frac{1}{2}}\left[  \sum_{k=1}^{r-1} a_{i_k,i_{k+1}} ( x_{i_k} - x_{i_{k+1}} )^2 \right]^{\frac{1}{2}}\\		
			&\le \frac{1}{2}(r-1)^{\frac{1}{2}} \left[ \sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}(x_i-x_j)^2\right]^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2(r-1)V_0(t)}.
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	[注，上式的系数是否正确？]
	因此当$t>T^{*}$可得
	\begin{equation} \label{|x_i - x_j|}
		\begin{aligned}
			|x_i-x_j| &\le \sqrt{2(r-1)V_0(t)/\mu} \le \sqrt{2(n-1)V(t)/\mu} \\
			&\le \sqrt{2(n-1)f(\delta)/\mu} := h(\delta) .
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	以上为对任意两个节点的一阶状态在系统达到稳态时相对偏差的分析，下面研究节点之间的二阶状态的相对偏差$|v_i-v_j|$在系统稳态时的情况。 
	
	从定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}的证明过程可知，$W_i(t) \ge \theta_2(v_i-v_i^{*})^{2\alpha_2},i \in \mathcal{V}$. 由于 $W_i(t) \le V(t) \le f(\delta),t \ge T^{*}$, 因此 $|v_i-v_i^*| \le (f(\delta)/\theta_2)^{\frac{1}{2\alpha_2}}$。在得出结论之前，需要对中间量$v_i^*$进行分析。由定义可知${y_i}(t) = \sum\nolimits_{j\in N_i} {{a_{ij}}( {{x_i} - {x_j}} )}$，可得
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			&\sum_{i=1}^{n}y_i^2=(L^{\frac{1}{2}}x)^TL(L^{\frac{1}{2}}x) \le \lambda_{max}(L)x^TLx \\
			&\le 2\lambda_{max}(L)V_0(t) \le 2\lambda_{max}(L)V(t) \le 2\lambda_{max}(L)f(\delta)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	因此，当$t>T^*$, 
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			|v_i^*| &= k_2|y_i^{1/\alpha_2}| \le k_2(\sum_{i=1}^{n}y_i^2)^{1/2\alpha_2}  \le \lambda_{max}(L)x^TLx \\
			&\le k_2( 2\lambda_{max}(L)f(\delta) )^{1/2\alpha_2},
		\end{aligned}
	\end{equation}
	进而可知
	\begin{equation}\label{EVENT.eq |v_i| bounded}
		\begin{aligned} 
			|v_i|& \le |v_i^*| + |v_i - v_i^*| \\
			&\le (f(\delta)/\theta_2)^{1/2\alpha_2} + k_2( 2\lambda_{max}(L)f(\delta) )^{1/2\alpha_2},
		\end{aligned}
	\end{equation}
	由此,对系统中的任意两个节点$i,j \in \mathcal{V}$, 当$t>T^*$时，有
	\begin{equation} \label{EVENT.eq |v_i - v_j|}
		\begin{aligned}
			|v_i - v_j| &\le 2|v_i| \\
			&\le 2( (f(\delta)/\theta_2)^{1/2\alpha_2} + k_2( 2\lambda_{max}(L)f(\delta) )^{1/2\alpha_2} ) \\
			&:= g(\delta).
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	至此定理~\ref{EVENT.th main theorem of event-trigger control protocol}得证。
	
\end{proof}

上述定理证明了，在本章所设计的事件驱动控制方法的作用下，加入控制协议后的二阶多智能体闭环系统的节点状态误差将在有限时间内收敛至一个零附近的有界可控邻域。通过调节控制率参数$\delta$的取值可以改变一致性的可控邻域的大小，即收敛精度。

一个合理的事件驱动控制方法需要保证任意两个相邻的时间之间的触发间隔是有限的，即排除奇诺现象。下文的定理将证明，本章设计的事件驱动控制方法不会导致系统内的节点产生奇诺现象：

\begin{theorem} \label{EVENT.th theorem of excluding zeno behavior}
	针对动力学为式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}二阶积分器模型的多智能体系统，若系统内所有节点均采用式~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}所示的控制协议和式~\eqref{EVENT.eq measurement error}~\eqref{EVENT.eq trigger function}~\eqref{EVENT.eq trigger condition}的事件触发条件，则当系统内部的通信拓扑图$\mathcal{G}$为无向连通图时，闭环系统内不会产生奇诺现象。		
\end{theorem}

\begin{proof}
	该定理的证明思路是从触发函数\eqref{EVENT.eq trigger function}和触发条件\eqref{EVENT.eq trigger condition}入手，寻找测量误差函数$|e_i|$与控制参数$\delta$之间的关系。首先依据在公式~\eqref{EVENT.eq measurement error}中对误差函数的定义，
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			|e_i|&=|\left( \xi_i^{\alpha_1}(t_i^k) -\xi_i^{\alpha_1}(t_i) \right)^{\frac{1}{\alpha_1}}|\le |\left( \xi_i^{\alpha_1}(t_i^k) -\xi_i^{\alpha_1}(t_i) \right)|^{\frac{1}{\alpha_1}}\\
			& \le 2^{\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}}|\xi_i(t_i^k) -\xi_i(t_i)| \le 2^{\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}}|\int_{t_i^k}^{t_i}\dot{\xi}_i(s) ds|
		\end{aligned}
	\end{equation}
	根据前文中的定义 $\xi_i = {k_2^{{\alpha _2}}{y_i}+ v_i^{{\alpha _2}}}$, 因此它的一阶导数有
	$$\dot{\xi}_i = k^{\alpha_2}_2\sum_{j\in N_i} a_{ij}(v_i-v_j) + \alpha_2 v_i^{\alpha_2-1}u_i.$$
	由控制输入$\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}$的表达式得出，控制输入$u_i$是系统内各个节点一阶二阶状态信息的函数。此外由于$\alpha_2>1$，$v_i^{{\alpha _2}-1}$项对任意的节点二阶状态都不会出现奇异的情况，并且根据公式~\eqref{EVENT.eq |v_i| bounded}，$|v_i|$在设计的时间驱动控制率的作用下是有上界的。因此上式中右手边第二项$\alpha_2 v_i^{\alpha_2-1}u_i$是有界的。另外由定理~\ref{EVENT.th main theorem of event-trigger control protocol}可得，系统的任意两个节点之间的二阶状态相对误差都将在有限时间内收敛至一个零附近的有界邻域，因此$k^{\alpha_2}_2\sum_{j\in N_i} a_{ij}(v_i-v_j)$也是有界的。由以上分析可以推断$\dot{\xi}_i$是有界的。
	
	定义一个正的常量$c_6$为$|\dot{\xi}_i|$的上界，即$|\dot{\xi}_i|\le c_6$,则测量误差的上界可以表示为：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			|e_i|& \le 2^{\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}}|\int_{t_i^k}^{t_i}c_6 ds| \le 2^{\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}}c_6(t_i-t_i^k).
		\end{aligned}
	\end{equation}
	现在假设在$t_i^k$时刻第$i$个节点触发了一次事件更新，则此时$f(t_i^k,e_i,y_i)=0$，此后$f(t_i^k,e_i,y_i)<0$。定义$\tilde{t}_i\in (t_i^k,t_i^{k+1})$表示在前一次触发与下一次触发中间的某一时刻, 则在下一个触发时刻到达前，测量误差函数$e_i$需要首先大于由$\delta$定义的常值项：
	 $$e_i(\tilde{t}_i)\ge\left(k_2^{1+\alpha_2}/{k_1}\right)^{\frac{1}{\alpha_1}}\delta.$$
	因此，任意两个触发时刻的间隔时间$\tau$必定满足
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\tau=&t_i^{k+1}-t_i^k>\tilde{t}_i-t_i^k \ge \frac{\delta k_2^{{(1+\alpha_2)}/{\alpha_1}}}{c_6 2^{\frac{1-\alpha_1}{\alpha_1}} k_1^{1/\alpha_1}}.
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	根据以上分析，由于任意两个触发时刻间隔的下限是有限的，因此任意一个节点都不会出现奇诺现象。由此本定理得证。
\end{proof}

由定理~\ref{EVENT.th theorem of excluding zeno behavior}的证明过程可知，本章所研究的事件驱动有限时间稳定的控制算法，将事件驱动控制理论和有限时间稳定理论结合在一起的关键是参数$\delta$的引入。一方面通过$\delta$的引入避免了事件驱动中可能存在的奇诺现象，另一方面它通过放宽一致性的收敛精度，从而实现在减少控制器输出的更新频率的同时，又能保留有限时间稳定中快速收敛的特性。因此得以实现非连续的事件控制策略与非线性有限时间控制理论的结合。

\BiSection{数值仿真与验证}{}
前文通过严格的理论推导证明了本章设计的事件驱动有限时间控制方法的正确性。本节将通过数值仿真实验，验证前文得到的理论结果以及分析本节的控制方法存在的问题。本节模拟四个二阶积分器模型的多智能体系统，它们之间的通信图如图~\ref{EVENT.fig communicationGraph}所示。图中存在箭头连接的两个节点互为邻接节点，连接线上的数字代表通信权重。根据图论中的相关定义易得，该通信图是无向连通图。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figures_EVENT/topology}
	\bicaption[EVENT.fig communicationGraph]{}{仿真实验中用到的无向连通通信图}{Fig.$\!$}{Communication topology of the network}\vspace{-0.5em} 
\end{figure}

前文的理论分析表明了，控制器的各个参数对最终系统的一致性结果会产生重要影响。因此为了观察具体参数对系统各种性能表现的影响，本节的数值仿真共进行四组不同参数和控制率的实验，并且选定三类一致性性能作为观察指标，分别为控制器输出的更新频率、一致性收敛时间以及一致性精度。四种仿真场景的配置参见表~\ref{EVENT.tab configurationScenario}。仿真组A-C使用前文设计的事件驱动的有限时间控制率，作为参照组，D组仿真采用式~\eqref{EVENT.eq continuous protocol}中有限时间连续控制协议。与其他仿真组不同的是，由于事件驱动控制协议引入了触发函数和触发条件，因此对照组D比仿真组A-C少了一个参数$\delta$。

\begin{table}[htbp]
	\bicaption[EVENT.tab configurationScenario]{}{四个仿真场景的定义以及参数的选取}{Table$\!$}{Simulation scenarios with different protocols and parameters}
	\vspace{0.5em}
	\centering
	\wuhao		
	\begin{tabular}{ccccccc}
		\toprule[1.5pt]
		编号 & 控制率 & $k_1$                   & $k_2$ & $\delta$ & \multicolumn{1}{l}{$\alpha_1$} & \multicolumn{1}{l}{$\alpha_2$} \\
		\midrule[1pt]
		A         & 事件驱动控制率\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}--~\eqref{EVENT.eq trigger function} & 65                     & 4.6  & 0.1          & \multirow{4}{*}{5/9} & \multirow{4}{*}{9/7}                         \\
		B         & 事件驱动控制率\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}--~\eqref{EVENT.eq trigger function} & 65                     & 4.6  & 0.5                   &                                              &                                              \\
		C         & 事件驱动控制率\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}--~\eqref{EVENT.eq trigger function} & 80                     & 5.1  & 0.1                   &                                              &                                              \\
		D         & 连续的有限时间控制率~\eqref{EVENT.eq continuous protocol}      & \multicolumn{1}{c}{65} & 4.6  & \textbackslash{}      &                                              &                                              \\
		\bottomrule[1.5pt]
	\end{tabular}
\end{table}

仿真中，四个节点的初始一阶位置状态和二阶速度状态分别设置为： $x(0)=[0, \, 1, \, -1, \, 1.5]^T$ and $v(0) = [-1, \, 0, \, 1, \, 2]^T$。每组仿真均运行$25 s$，仿真时间步长设置为$\Delta t = 0.01 s$。


四组实验的数值仿真结果如图~\ref{EVENT.fig posFig}和图~\ref{EVENT.fig velFig}，以及表~\ref{EVENT.tab triggerTimesCount}和表~\ref{EVENT.tab ConvergencePerformance}。其中表~\ref{EVENT.tab triggerTimesCount}记录了25秒内四组仿真实验中，所有智能体控制器输出的更新频率。实验组A-C由于使用事件驱动的控制方法，因此此处的更新次数指的是触发条件~\eqref{EVENT.eq trigger condition}为真的次数。对照组D由于使用连续控制算法，因此每一个仿真时刻都需要更新其控制输出，因此总数全部为2500次。表~\ref{EVENT.tab ConvergencePerformance}记录了四组仿真实验最终达到的一致性收敛精度和收敛时间。实验组A-C的收敛精度是指定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}中智能体一阶、二阶状态最终收敛的稳定域的大小。因为使用了连续的有限时间稳定控制率，对照组D能够最终实现无误差的一致性，即所有智能体的一阶、二阶状态最终全部相同。作为代表性案例，图~\ref{EVENT.fig posFig}和图~\ref{EVENT.fig velFig}展示了四个智能体的系统，在使用设计的事件驱动有限时间控制方法作用下，每个智能体的一阶、二阶状态在25s仿真时间内的演化过程。


\begin{table}[htbp]
	\bicaption[EVENT.tab triggerTimesCount]{}{$25s$仿真时间内控制器输出更新次数}{Table$\!$}{Triggered counts for all agents during 25s}
	\vspace{0.5em}
	\centering
	\wuhao		
	\begin{tabular}{ccccccc}
		\toprule[1.5pt]
		编号 & 智能体1 & 智能体 2 & 智能体 3 & 智能体 4           \\
		\midrule[1pt]
			A & 1348    & 1204    & 1153    & 1355                      \\
			B & 832     & 872     & 933     & 954                       \\
			C & 2008    & 1980    & 1950    & 2004                      \\
			D & 2500    & 2500    & 2500    & 2500                      \\                                         
		\bottomrule[1.5pt]
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
	\bicaption[EVENT.tab ConvergencePerformance]{}{收敛精度和收敛时间的性能表现}{Table$\!$}{Convergence performances regarding consensus accuracy and settling time}
	\vspace{0.5em}
	\centering
	\wuhao		
	\begin{tabular}{ccccccc}
		\toprule[1.5pt]
		编号 & 一阶状态的相对偏差$h(\delta)$ & 二阶状态的相对偏差$g(\delta)$ & 收敛时间             \\
		\midrule[1pt]
			A & $2 \times 10^{-4}$  & 0.05        & 9.8s      \\
			B & 0.06                & 0.09        & 8.4s      \\
			C & $6 \times 10^{-4}$  & 0.7         & 8s        \\
			D & 0                   & 0           & 10.5s     \\                                       
		\bottomrule[1.5pt]
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[htbp] 
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures_EVENT//positions_0_1}
	\bicaption[EVENT.fig posFig]{}{仿真组A中四个智能体一阶状态的变化过程}{Fig.$\!$}{Positions under proposed protocol A}
	\vspace{-0em} 
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures_EVENT/velocities_0_1}
	\bicaption[EVENT.fig velFig]{}{仿真组A中四个智能体二阶状态的变化过程}{Fig.$\!$}{Velocities under proposed protocol A}
	\vspace{-0em} 
\end{figure}

这些仿真数据首先验证了，本章设计的事件驱动的有限时间稳定控制方法依然可以确保系统在有限时间内收敛，及确保系统的一致性过程继承了有限时间控制理论的快速收敛特性。不过由于时间驱动框架的引入，该方法无法实现精准无误差的一致性，任意两个智能体之间相对状态偏差在稳定状态下只能最终收敛至一个零附近的有界邻域内。不过表~\ref{EVENT.tab ConvergencePerformance}中的数据表明，可以通过调整控制率中的参数$\delta$来控制最终的一致性精度，通常情况下，$\delta$越小，一致性精度将会越高。另外通过对比实验组A和C之间的一致性表现发现，适当地减少控制参数$k_1$和$k_2$的取值，可以增加系统的收敛精度。

其次，通过对比表~\ref{EVENT.tab triggerTimesCount}中的数据可以看出，本章设计的控制率可以减少控制器输出频率。首先将表~\ref{EVENT.tab triggerTimesCount}中实验组A-C和数据和对照组D中的数据进行比较，实验组均能够减少控制器的输出更新频率，最多可以减少66.7\%。另外通过实验组A-C内部的横向对比，控制率中的参数也会影响控制器的输出频率，如果是为了降低输出频率，则需要：
\begin{itemize}
	\item[1):] 增加参数$\delta$的值。
	\item[2):] 在满足定理~\ref{EVENT.th main theorem of event-trigger control protocol}的基础上，减少$k_1,k_2$的值。
\end{itemize}
虽然本章设计的控制方法在减少控制器输出频率的同时会减少系统的一致性误差，但是从A组的仿真结果中可以看出，在事件驱动的控制率作用下，系统状态的稳态一致性误差极小，但是却可以平均减少约50\%的控制输出频次。

最后通过对比实验组A和C，可以的出增加参数$k_1,k_2$可以减少控制算法的收敛时间。另外，虽然从实验组A和对照组D的对比中可以得出，增加参数$\delta$的值会减少收敛时间，但此情况下收敛时间的减少更多地是由于收敛域的扩大所导致的。因此$\delta$对收敛时间并不存在显著的影响。

根据以上的分析，本章所设计的控制率中的各种参数$\delta,k_1,k_2$对一致性性能的影响可以总结为如下两条原则：
\begin{itemize}
	\item[1):] $\delta$是改变一致性精度和控制频率的主要参数。减少$\delta$的值会增加一致性精度，但是减少触发函数的触发间隔，从而使控制器输出频率增加。
	\item[2):] 系统一致性的收敛时间主要与$k_1,k_2$有关，增加它们的值可以减少系统的收敛时间。
\end{itemize}

最后从图~\ref{EVENT.fig velFig}可以看出，在稳定区间内，智能体速度的改变间隔即为事件的触发间隔。从图中可知，该触发间隔大于仿真的时间间隔，因此公式~\ref{EVENT.eq trigger condition}不会被无限次地触发。由以上分析可以得，本章所设计的事件驱动的有限时间控制率可以有效地排除奇诺现象。


\BiSection{小结}{}

本章研究了在复杂的任务月约束和环境约束下，如何降低二阶多智能体系统内各个智能体控制器的输出频率，并且保证系统的一致性过程保留有限时间稳定特性，因此本章提出了一类基于事件驱动控制框架的有限时间稳定控制算法。基于一类已有的奇次连续有限时间稳定控制率，本文根据事件驱动控制框架将其改进为一类离散的控制协议，并设计了合理的事件触发函数，和触发条件。本章通过严格的理论验证和数值仿真实验，验证了本章所设计的控制率的正确行和有效性。

理论和实验结果表明，本章所设计的复合控制率可以减少控制器的输出更新频率，并可以控制系统的一致性过程在有限时间内收敛一个零附近的有界可控区间。系统的三种性能表现，即一致性收敛时间、收敛精度以及控制器输出频率可以通过更改控制率的控制参数来调整。

未来的研究方向包括：
\begin{itemize}
	\item[1):] 本章设计的控制率依然需要每个智能体连续不间断地监测其邻接节点的状态，后续研究方向之一是如何将信息的获取过程也转变为基于事件驱动的。这样有助于减少节点用于减少通信开销。
	\item[2):] 本章设计的方法无法实现精准的一致性，因此后续研究需要进一步寻找合适控制协议或者触发机制来实现精准的一致性收敛。
	\item[3):] 需要进一步去理解控制器中的参数对在实际应用中的影响。
\end{itemize}

\BiSection{附录 I}{Appendix I} \label{appendices I}

对定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}的证明过程。

\begin{proof}	
	论述1. 通过观察李雅普诺夫函数$V(t)$在\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}的定义可知，该函数是连续的，且几乎处处可导。但是其在时间触发时刻对时间的导数是不存在。然而控制理论中对利亚普诺夫函数的要求并不需要处处可微分的性质，因此仅在触发时刻不可导的缺点并不影响该函数成为待选的李雅普诺夫函数。
	
	下面需要证明该函数是正定的。首先，通过观察式~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate}易得，$V_0(t)\ge 0,\forall t>0$。对于组成该函数的另一部分$W_i$，由于 $2-\frac{1}{\alpha_2}=\frac{2\alpha^{*}_1 -\alpha^{*}_2}{\alpha^{*}_1}$,且 $\alpha^{*}_1,\alpha^{*}_2$为两个质数的比值，则当$v_i>v_i^{*}$时，存在两个正的常量$\theta_1,\theta_2$使得
	\begin{equation} \label{EVENT.eqa lyapu proper}
		\begin{aligned} 
			W_i &\ge \theta_1\int_{v^{*}_i}^{v_i} (s - v^{*}_i)^{2\alpha_2-1} ds \ge \theta_2(v_i -v^{*}_i)^{2\alpha_2}\\
			&\exists \theta_1,\theta_2>0.
		\end{aligned}	
	\end{equation}
	上式的证明需要引用引理~\ref{EVENT.lemma span 2}。
	
	当 $v_i\le v^{*}_i$时，可以得到如式~\eqref{EVENT.eqa lyapu proper}中相似的结果。因此$W_i \ge 0,\forall t > 0$. 此时李雅普诺夫函数$V$可被重塑为$V(t) = V_0(t) + \frac{1}{k_2^{1+\alpha_2}}\sum_{i=1}\theta_2(v_i -v^{*}_i)^{2\alpha_2}$，因此是正定的。
	
	由以上的分析可知，定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}中的论述1成立。
	
	论述2: 该论述着重于寻找李雅普诺夫函数的上界。该上界表达式是由$y_i,\xi_i,\forall i \in \mathcal{V}$的二次型累加后组成的。首先将函数$V(t)$中的$V_0(t)$改写为向量形式可得：
	$$V_0(t) = \frac{1}{4}\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\left( x_i-x_j \right) =\frac{1}{2}\vect{x}^{T}L\vect{x}$$
	式中，$\vect{x} =[x_1,x_2,...,x_n]^T$。由于系统的通信图为无向连通图，因此图的拉普拉斯矩阵$\vect{L}$是半正定的。则定义新的表达式$\vect{L}^{1/2}\vect{L}^{1/2}=\vect{L}$以及$\vect{z}=\vect{L}^{1/2}\vect{1}=[z_1,z_2,...,z_n]^T$，并且易得：	
	$$\vect{z}^T\vect{z}=(\vect{L}^{1/2}\vect{1})^T\vect{L}^{1/2}\vect{1}=\vect{1}^T\vect{L}\vect{1}=0$$
	因此可知$\vect{z}^T=\vect{0}$以及 $\vect{1}^T(L^{1/2}x)=0$, 所以
	\begin{equation}\label{y_i square}
		\begin{aligned}
			\sum_{i=1}^{n} y_i^2&=(Lx)^T(Lx)=(L^{1/2}x)^TL(L^{1/2}x) \\
			& \ge \lambda_2x^TLx=2\lambda_2V_0(t).
		\end{aligned}
	\end{equation}
	对于$W_i$有：
	\begin{equation} \label{xi_i square}
		\begin{aligned}
			W_i&\le |v_i-v_i^*||v_i^{\alpha_2}-v_i^{*\alpha_2}|^{2-\frac{1}{\alpha_2}} \\
			&\le 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}|\xi_i|^{\frac{1}{\alpha_2}}|\xi_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}}\le  	2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}|\xi_i|^2.
		\end{aligned}
	\end{equation}
	结合公式~\eqref{xi_i square}和~\eqref{y_i square}可得：
	\begin{equation*} \label{V scale binomial}
		\begin{aligned}
			V &= V_0+\frac{1}{k_2^{1+\alpha_2}}\sum_{i=1}^{n}W_i \\
			&\le \frac{1}{2\lambda_2} \sum_{i=1}^{n}y_i^2 +\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{k_2^{1+\alpha_2}}\sum_{i=1}^{n} \xi_i^2 \\
			&\le c_1\left( \sum_{i=1}^{n}y_i^2 + \sum_{i=1}^{n} \xi_i^2 \right),
		\end{aligned}	
	\end{equation*}
	式中~$c_1=\max\left( \frac{1}{2\lambda_2},\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{k_2^{1+\alpha_2}}  \right)$，根据式~\eqref{EVENT.eq defintion of E(xy)}中对$E(\cdot)$的定义，$E(2)_{\vect{y}\vect{\xi}} = \left( \sum_{i=1}^{n}y_i^2 + \sum_{i=1}^{n} \xi_i^2 \right)$。
	
	由此，定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}中的论述2得证。
	
	论述3： 该论述的证明需要将李雅普诺夫函数对时间的一阶导数进行展开。首先研究$V_0(t)$的导数。下式中对时间进行微分的展开需要用到引理~\ref{EVENT.lemma span0}，引理~\ref{EVENT.lemma span 1}，引理~\ref{EVENT.lemma span 2}，公式~\eqref{EVENT.eq dynamics of agent}中的动力学，以及中间变量$\xi_i = v^{\alpha_2}_i-v^{*\alpha_2}_i$，
	\begin{equation}
		\begin{aligned} \label{dot of V_0}
			\dot{V_0} &= \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x_i-x_j)(v_i-v_j) = \sum_{i=1}^{n} y_iv_i \\
			&= \sum_{i=1}^{n}y_i v^{*}_i +\sum_{i=1}^{n}y_i(v_i-v^{*}_i) \\
			&\le -k_2\sum_{i=1}^{n}y_i^{1+\frac{1}{\alpha_2}} +2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}\sum_{i=1}^{n}|y_i||v^{\alpha_2}_i-v^{* \alpha_2}_i|^{\frac{1}{\alpha_2}}\\
			&\le (\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}\alpha_2 }{1+\alpha_2}-k_2)\sum_{i=1}^{n} y^{1+\frac{1}{\alpha_2}}_i + \frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}\sum_{i=1}^{n}\xi_i^{1+\frac{1}{\alpha_2}}.\\
		\end{aligned}		
	\end{equation}
	
	然后，对于$W_i$,其对时间的导数可以做如下展开：
	\begin{equation}\label{dot of W_i}
		\begin{aligned}
			&\dot{W_i} =\quad \dot{v_i}(v_i^{\alpha_2}-v^{*\alpha_2}_i)^{2-\frac{1}{\alpha_2}}\\
			& \quad +(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{d v^{*\alpha_2}_i}{dt}\int_{v^{*}_i}^{v_i}(s^{\alpha_2}-v^{*\alpha_2}_i)^{1-\frac{1}{\alpha_2}}ds\\
			&=\xi_i^{2-\frac{1}{\alpha_2}}u_i + (2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{d v^{*\alpha_2}_i}{dt}\int_{v^{*}_i}^{v_i}(s^{\alpha_2}-v^{*\alpha_2}_i)^{1-\frac{1}{\alpha_2}}ds.\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	式中有
	$$
		\begin{aligned}
			dv^{*\alpha_2}_i/dt&=-k_2^{\alpha_2}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(v_i-v_j) \\
			&= -k_2^{\alpha_2}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}v_i+k_2^{\alpha_2}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}v_j \\
			&\le k_2^{\alpha_2}[\max_i(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j})|v_i|+\max_{ij}(a_{ij})\sum_{m=1}^{n}|v_m|]
		\end{aligned}
	$$
	定义$\beta = \max_i(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j})$,$\gamma = \max_{ij}(a_{ij})$，然后可得：
	\begin{equation} \label{dv*/dt}
		dv^{*\alpha_2}_i/dt \le k_2^{\alpha_2}(\beta |v_i| + \gamma \sum_{m=1}^{n}|v_m|).
	\end{equation}
	式~\eqref{dot of W_i}中的积分可做如下处理：
	\begin{equation}\label{absolute of int le}
	|\int_{v^{*}_i}^{v_i} (s^p-v_i^{*p})^{1-\frac{1}{\alpha_2}}| \le |v_i-v_i^{*}||\xi_i|^{1-\frac{1}{\alpha_2}},
	\end{equation}
	因此将公式~\eqref{absolute of int le}和~\eqref{dv*/dt}代入公式~\eqref{dot of W_i}中可得：
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			\dot{W_i} &\le \quad \xi_i^{2-\frac{1}{\alpha_2}}u_i +(2-\frac{1}{\alpha_2})k_2^{\alpha_2}\beta |v_i||v_i-v_i^{*}||\xi_i|^{1-\frac{1}{\alpha_2}}\\
			&+(2-\frac{1}{\alpha_2})k_2^{\alpha_2}\gamma\sum_{m=1}^{n} |v_m||v_i-v_i^{*}||\xi_i|^{1-\frac{1}{\alpha_2}}.
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	然后使用与式~\eqref{dot of V_0}中相似的缩放操作可得，
	$$
		\begin{aligned}
			|v_m|&|v_i-v_i^{*}||\xi_i|^{1-\frac{1}{\alpha_2}} \le 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}} |v_m||\xi_i|^{\frac{1}{\alpha_2}}|\xi_i|^{1-\frac{1}{\alpha_2}}\\
			&\le 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}(|\xi_i||v_m-v_m^{*}| +|\xi_i||v_m^{*}|) \\
			&\le 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}( 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}|\xi_i||\xi_m|^{\frac{1}{\alpha_2}}+k_2|\xi_i||y_m|^{\frac{1}{\alpha_2}} )\\
			&\le 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}(2^{1-\frac{1}{\alpha_2}} +k_2)\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2}|\xi_i|^{1+\frac{1}{\alpha_2}} \\
			&\quad + \frac{2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}}{1+\alpha_2} |\xi_m|^{1+\frac{1}{\alpha_2}} + \frac{k_22^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}|y_m|^{1+\frac{1}{\alpha_2}},
		\end{aligned}
	$$
	以及
	$$
		\begin{aligned}
			|v_i|&|v_i-v_i^{*}||\xi_i|^{1-\frac{1}{\alpha_2}} \\
			&\le (2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}+\frac{\alpha_2 k_22^{1-\frac{1}{\alpha_2}} }{1+\alpha_2})|\xi_i|^{1+\frac{1}{\alpha_2}} +\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}k_2}{1+\alpha_2}|y_i|^{1+\frac{1}{\alpha_2}}\\
		\end{aligned}
	$$
	将上述两个展开带入$\dot{W_i}$可得
	\begin{equation} \label{final dot_w_i}
		\begin{aligned}
			\dot{W_i} &\le \xi_i^{2-\frac{1}{\alpha_2}}u_i+ (2-\frac{1}{\alpha_2})k_2^{\alpha_2}k_3|\xi_i|^{d} \\
			& +(2-\frac{1}{\alpha_2})k_2^{1+\alpha_2}\beta\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}|y_i|^d \\
			&+k_2^{\alpha_2}\gamma(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}}{1+\alpha_2} \sum_{m=1}^{n}|\xi_m|^d \\
			&+ k_2^{1+\alpha_2}\gamma(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} \sum_{m=1}^{n}|y_m|^d
		\end{aligned}
	\end{equation}
	式中$d=1+\frac{1}{\alpha_2}=\frac{\alpha^{*}_1+\alpha^{*}_2}{\alpha^{*}_2}$，并且有
	$$k_3=(\beta +n\gamma\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2})2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}+(\beta+n\gamma)\frac{\alpha_2k_2}{1+\alpha_2}2^{1-\frac{1}{\alpha_2}},$$
	
	此外，由于$\alpha_1^*,\alpha_2^*$均为正的质数，因此有$|x|^d=x^d,\forall x\in \mathbf{R}$. 且$\sum_{i=1}^{n}\sum_{m=1}^{n} x_m = n\sum_{i=1}^{n}x_i, \forall x_i \in \mathbf{R},\forall i \in \mathbf{S}$。因此，将式~\eqref{final dot_w_i}和~\eqref{dot of V_0}带入~\eqref{EVENT.eq lyapunov function candidate} \eqref{dot of V_0}, 可得：
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			&\dot{V} \le \frac{1}{k_2^{1+\alpha_2}}\sum_{i=1}^{n}\xi_i^{2-\frac{1}{\alpha_2}}u_i\\
			&+\left[\frac{\alpha_2 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} +(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}(\beta+n\gamma)-k_2 \right]\sum_{i=1}^{n}y_i^d\\
			&+ \left[ \frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} +(2-\frac{1}{\alpha_2})(\frac{k_3}{k_2}+n\gamma\frac{2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}}{k_2(1+\alpha_2)}) \right]\sum_{i=1}^{n}\xi_i^d.
		\end{aligned}	
	\end{equation*}
	
	因此，当选定常数$c_2,c_3,c_4$为上式右侧三项的系数时，定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}中的论述3即可得证。
	
	至此，定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}全部得证。
\end{proof}

\BiSection{附录 II}{Appendix II} \label{appendices II}

\begin{proof}
	首先需要将设计的时间驱动有限时间控制率改写为与测量误差$|e_i|$以及中间量$\xi_i$相关的形式。根据相关定义可以总结出事件驱动控制率~\eqref{EVENT.eq Event-triggered control protocol}与中间变量$\xi_i$的关系为：$$u_i=-k_1\xi^{\alpha_1}_i(t_i^k).$$
	回顾式~\eqref{EVENT.eq measurement error}中测量误差的定义$e_i(t_i) = \left( \xi^{\alpha_1}_i(t^k_i) - \xi^{\alpha_1}_i(t_i) \right)^{\frac{1}{\alpha_1}}$，则上式的控制率可进一步改写为：
	$$u_i(t) = -k_1(e_i^{\alpha_1}(t_i)+\xi^{\alpha_1}_i(t_i)).$$
	
	因此，将上式带入定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}论述3里李雅普诺夫函数对时间一阶导数的不等式，可得
	\begin{equation}\label{dot V with ei}
		\begin{aligned}		
			& \dot{V} \leq c_3\sum_{i=1}^{n}y_i^d + c_4 \sum_{i=1}^{n}\xi_i^d -k_1 c_2 \sum_{i=1}^n \xi_i^{d} -k_1 c_2 \sum_{i=1}^n \xi_i^{2 - \frac{1}{\alpha_2}}e_i^{\alpha_1} \\
			&\leq (c_4-k_1 c_2) \sum_{i=1}^n \xi_i^{d}  + c_3\sum_{i=1}^{n}y_i^d + k_1 c_2 \sum_{i=1}^n |\xi_i|^{2 - \frac{1}{\alpha_2}}|e_i|^{\alpha_1}.	
		\end{aligned}	
	\end{equation}
	根据控制框架中触发函数的定义~\eqref{EVENT.eq trigger function}:
	$$f_i(t,e_i,y_i)=|e_i|-\left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right)^{\frac{1}{\alpha_1}}(|y_i|+\delta)$$ 
	当第$i$个节点的触发函数在$t$时刻处于等待被激活的状态，即$f_i(t,e_i,y_i)<0$时，有	
	$$|e_i|^{\alpha_1}\le \left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right)\left( |y_i|^{\alpha_1}+\delta^{\alpha_1} \right),$$
	式中 $\alpha_1 \in (0,1)$. 由此公式~\eqref{dot V with ei}不等式右侧第三个累加项中的每个被累加的元素都可进行如下缩放操作：
	\begin{equation}\label{xi_ei}
		\begin{aligned}
			|\xi_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}}|e_i|^{\alpha_1} &\le\left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right) \left( |y_i|^{\alpha_1}|\xi_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}}+	\delta^{\alpha_1}|\xi_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}} \right)\\
			&\le \left( \frac{k_2^{1+\alpha_2}}{k_1} \right) \left[  \frac{2-\alpha_2}{\alpha_2+1}y_i^d+\frac{2\alpha_2-1}{\alpha_2+1}\xi_i^d \right.  \\
			&\left.  +\delta^{\alpha_1}\left( |\xi_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}}+|y_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}} \right) \right].\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	将式~\eqref{xi_ei}带入式~\eqref{dot V with ei}，并且调用定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}论述3中$c_2,c_3,c_4$的定义可得：
	\begin{equation} \label{theata5 definition}
		\begin{aligned}
			\dot{V} &\le -\tilde{c}_3\sum_{i=1}^{n}y_i^d-\tilde{c}_4\sum_{i=1}^{n}\xi_i^d\\
			& +\delta^{\alpha_1}\left( \sum_{i=1}^{n}|\xi_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}} +\sum_{i=1}^{n}|y_i|^{2-\frac{1}{\alpha_2}}\right)\\
			&\le -\tilde{c}_{min}E(d)+\delta^{\alpha_1}E(2-\frac{1}{\alpha_2}),
		\end{aligned}
	\end{equation}
	式中新定义的系数为：
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			&\tilde{c}_3 = k_2 -\frac{2-\alpha_2}{\alpha_2+1}-\frac{\alpha_2 2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} -(2-\frac{1}{\alpha_2})\frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2}(\beta+n\gamma) \\			
			&\tilde{c}_4 = \frac{k_1}{k_2^{1+\alpha_2}} - \frac{2\alpha_2-1}{1+\alpha_2} - \frac{2^{1-\frac{1}{\alpha_2}}}{1+\alpha_2} -(2-\frac{1}{\alpha_2})\left( \frac{k_3}{k_2}+n\gamma\frac{2^{2(1-\frac{1}{\alpha_2})}}{k_2(1+\alpha_2)} \right) \\			
			&\tilde{c}_{min} = \min(\tilde{c}_3,\tilde{c}_4)
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	
	由于$d=1+\frac{1}{\alpha_2} \in (\frac{3}{2},2)$，因此$\frac{d}{2} \in (0,1)$. 根据引理~\ref{EVENT.lemma span0}以及定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}中的描述李雅普诺夫函数上界的论述1，
	$$V^{\frac{d}{2}}\le c_1^{\frac{d}{2}}E(d),$$
	因此当给定常数$\eta_1 \in (0,1)$并且定义$\tilde{c}_5=\eta_1\tilde{c}_{min}/c_1^{d/2}>0$后，式~\eqref{theata5 definition}可进步一拓展为：
	\begin{equation*}
	\dot{V}+ \tilde{c}_5 V^{\frac{d}{2}} \le -(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d) +\delta^{\alpha_1} E(2-\frac{1}{\alpha_2}).
	\end{equation*}
	由此可知，当定义$c_5 = \tilde{c}_5$且$c_6 = -(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}$时，定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}第一部分的论述得证。
	
	给定另一个常量$\eta_2 \in (0,1)$，则当下述不等式成立时
	\begin{equation} \label{requirement for finite-stability inequality}
		\begin{aligned}
			&-(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d) +\delta^{\alpha_1}E(2-\frac{1}{\alpha_2})\\
			& \le -\eta_2(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d),
		\end{aligned}
	\end{equation}
	可得
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			\dot{V}+&\tilde{c}_5V^{\frac{d}{2}} \le  -\eta_2(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d) \le 0.
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	此时根据引理~\ref{EVENT.lemma finite-time theorem}, 如果$\tilde{c}_5 > 0$, 则李雅普诺夫函数$V(t)$将在有限时间内收敛至零。
	
	由以上分析可知，李雅普诺夫函数的有限时间收敛特性需要依赖于两个条件，即$\tilde{c}_5 > 0$,以及式~\eqref{requirement for finite-stability inequality}成立。由于$c_5 = \tilde{c}_5=\eta_1\tilde{c}_{min}/c_1^{d/2}$已经确保大于零，因此下面将主要分析式~\eqref{requirement for finite-stability inequality}。由于前文已经证得，当该条件成立是，李雅普诺夫函数$V(t)$的值会保持持续下降。因此下面将通过研究式~\eqref{requirement for finite-stability inequality}不成立对李雅普诺夫函数$V(t)$的影响。当式~\eqref{requirement for finite-stability inequality}不成立时，有
	$$-(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d) +\delta^{\alpha_1}E(2-\frac{1}{\alpha_2}) > -\eta_2(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d).$$
	根据引理~\ref{EVENT.lemma property of E(x,y)}可得 
	\begin{equation} 
		\begin{aligned}
			&\delta^{\alpha_1}E(2-\frac{1}{\alpha_2}) \ge (1 -\eta_2)(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(d)\\
			&\Rightarrow \delta^{\alpha_1}(2n)^{\frac{1}{2\alpha_2}}E(2)^{1-\frac{1}{2\alpha_2}}\ge (1 -\eta_2)(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}E(2)^{d/2}\\
			&\Rightarrow E(2)^{\frac{d}{2} - 1 + \frac{1}{2\alpha_2} } \le \frac{\delta^{\alpha_1}(2n)^{\frac{1}{2\alpha_2}}}{(1 -\eta_2)(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}}.
		\end{aligned}
	\end{equation}
	通过整理可得$\frac{d}{2} - 1 + \frac{1}{2\alpha_2} =\frac{\alpha_1}{2}$，又由定理~\ref{EVENT.th theorem of lyapunov's three properties}得到李雅普诺夫函数的上界为$V \le c_1E(2)$，因此
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			V \le c_1 E(2) &\le c_1\left[ \frac{\delta^{\alpha_1}(2n)^{\frac{1}{2\alpha_2}}}{(1 -\eta_2)(1-\eta_1)\tilde{c}_{min}} \right]^{\frac{2}{\alpha_1}}\\
			&:=f(\delta).
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	因此，当条件~\eqref{requirement for finite-stability inequality}不成立时，李雅普诺夫函数$V(t)$将一直不超出$[0,f(\delta)]$的范围。结合当式~\eqref{requirement for finite-stability inequality}成立时，李雅普诺夫函数的值将会按照有限时间收敛的速率下降，由此可以总结出，在设计的事件驱动有限时间控制率的作用下，该李雅普诺夫函数将在有限时间收敛至$[0,f(\delta)]$的稳定域内。
	
	显然，该稳定区域的上界$f(\delta)$与控制参数$\delta$之间成正比例关系。如果选取合适的$\delta$值后，有$f(\delta)< V(0)$，则根据引理~\ref{EVENT.lemma finite-time theorem}, 收敛时间$T^{*}$的上界为：
	\begin{equation} \label{settling time}
	T^{*} \le \frac{V(0)^{1-d/2} - f(\delta)^{1-d/2}}{\tilde{c}_5(1-d/2)}.
	\end{equation}
	
	至此，定理~\ref{EVENT.th Thereom of finite-time equation form}得证。
\end{proof}
